Vibraciones libres sin amortiguamiento

Vibraciones libres sin amortiguamiento

Vibración no amortiguada

Para otros usos, véase Vibración (desambiguación) y Vibrar (desambiguación).La vibración es un fenómeno mecánico por el que se producen oscilaciones en torno a un punto de equilibrio. La palabra viene del latín vibrationem («sacudir, blandir»). Las oscilaciones pueden ser periódicas, como el movimiento de un péndulo, o aleatorias, como el movimiento de un neumático en un camino de grava.

En muchos casos, sin embargo, la vibración es indeseable, ya que desperdicia energía y crea un sonido no deseado. Por ejemplo, los movimientos vibratorios de los motores, los motores eléctricos o cualquier dispositivo mecánico en funcionamiento suelen ser indeseables. Estas vibraciones pueden deberse a desequilibrios en las piezas giratorias, a una fricción desigual o al engranaje de los dientes. Los diseños cuidadosos suelen minimizar las vibraciones no deseadas.

Los estudios sobre el sonido y las vibraciones están estrechamente relacionados. El sonido, o las ondas de presión, se generan al vibrar estructuras (por ejemplo, las cuerdas vocales); estas ondas de presión también pueden inducir la vibración de estructuras (por ejemplo, el tímpano). Por ello, los intentos de reducir el ruido suelen estar relacionados con los problemas de vibración[1].

Ecuación de vibración libre amortiguada

Esta ecuación de movimiento es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) homogénea de segundo orden. Si todos los parámetros (masa, rigidez del muelle y amortiguación viscosa) son constantes, la EDO se convierte en una EDO lineal con coeficientes constantes y puede resolverse por el método de la ecuación característica. La ecuación característica para este problema es,

Si = 0, el sistema se denomina amortiguado críticamente. Las raíces de la ecuación característica se repiten, lo que corresponde a un movimiento simple que decae, con a lo sumo un rebasamiento de la posición de reposo del sistema.

Obsérvese que la amplitud del desplazamiento decae exponencialmente (es decir, el logaritmo natural de la relación de amplitud para dos desplazamientos cualesquiera separados en el tiempo por una relación constante es una constante; ¡largo!),

El desplazamiento decae hasta un nivel despreciable después de un período natural, Tn. Nótese que si la velocidad inicial v0 es negativa mientras que el desplazamiento inicial x0 es positivo, existirá un rebasamiento de la posición de reposo en el gráfico de desplazamiento.

Ejemplos de vibración libre no amortiguada

Hay muchos sistemas oscilantes que tienen el mismo comportamiento que el sistema muelle-masa. El péndulo es un ejemplo histórico importante, ya que fue estudiado por Galileo y Huygens y fue uno de los primeros medios para medir el tiempo con precisión. En el ámbito eléctrico, existe el circuito inductor-capacitor (LC), y en acústica, el resonador de Helmholtz. Incluso dentro de los sistemas mecánicos, podemos cambiar el aspecto de nuestro sistema muelle-masa utilizando diferentes tipos de muelles. Podemos poner la masa en el extremo de una viga ligera en voladizo, por ejemplo, o en el centro de una cuerda estirada. Todos ellos son sistemas análogos porque las ecuaciones que rigen su comportamiento tienen la misma forma matemática.

Los supuestos clave en el análisis del sistema muelle-masa son que la masa del muelle es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada y que sigue la Ley de Hooke, es decir, que la fuerza en el muelle es proporcional a la cantidad que se estira. La constante de proporcionalidad es \(k\).

Voy a utilizar \(u\) para representar el desplazamiento de la masa desde su posición «natural», que es aquella en la que el muelle no está ni estirado ni comprimido. Puede que te sientas más cómodo usando \(x\) para este valor, pero no te dejes llevar por la notación. \(u\) se utiliza comúnmente para el «desplazamiento en la dirección \(x\)», y vamos a utilizar \(x\) para algo más en un post posterior.

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Las vibraciones libres pueden definirse como oscilaciones en torno a la posición de equilibrio de un sistema que se producen en ausencia de una excitación externa. En física, el movimiento perpetuo es imposible. La fricción seca, la fricción viscosa, la fricción interna del sistema, la resistencia aerodinámica, etc. acaban disipando la energía (amortiguación). Por ejemplo, en un sistema de un grado de libertad, una masa está suspendida por un muelle, que está sujeto a un techo. Si tiramos de la masa hacia abajo y la soltamos, la masa oscilará y acabará volviendo a su posición de equilibrio.

La amortiguación está relacionada con cualquier efecto que reduzca la amplitud de la oscilación. En términos matemáticos, el amortiguamiento se presenta con el símbolo c, cuya unidad es N s/m. La relación de amortiguación es un parámetro que mide la rapidez con la que la magnitud de la vibración decae en el tiempo.  La relación de amortiguación viene dada por:

El amortiguamiento viscoso ha sido ampliamente utilizado en muchos sistemas críticamente amortiguados. También tiene efectos positivos cuando se añade a sistemas sometidos a excitación forzada. Hablaré de las vibraciones forzadas en el próximo blog de XYO, ya que son sistemas comunes en el campo de las vibraciones.

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