Sistema de ecuaciones determinantes

Sistema de ecuaciones determinantes

Reglas de los determinantes

Ahora lo que hay que notar en estas dos expresiones es que los denominadores (a1b2 – a2b1) son iguales y que los términos del denominador provienen todos de la matriz de coeficientes. Además, si a1b2 – a2b1 es cero, el sistema no puede tener solución porque no podemos dividir por cero.

Así que resulta que este número a1b2 – a2b1 es bastante importante, lo suficiente como para recibir un nombre, el determinante. Y resulta que esta característica es válida para matrices de cualquier tamaño: Si el determinante de una matriz de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución. Otra forma de decirlo es: Las ecuaciones no son linealmente independientes.

Si el determinante de una matriz es cero, el sistema lineal de ecuaciones que representa no tiene solución. En otras palabras, el sistema de ecuaciones contiene al menos dos ecuaciones que no son linealmente independientes.

En el ejemplo superior, el sistema lineal representado por la matriz no es linealmente independiente porque una fila puede formarse aplicando una operación lineal sobre la otra. Por ejemplo, si la fila superior se multiplica por -1, el resultado sería la fila inferior. En realidad, sólo hay una información para encontrar dos variables, por lo que el sistema no se puede resolver, y esto lo indica el determinante cero.

Propiedades de los determinantes

Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números formada por filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas n y el número de columnas m. Por ejemplo, una matriz de 3×4, léase «matriz de 3 por 4», es aquella que consta de 3 filas y 4 columnas. Una matriz cuadradaUna matriz con el mismo número de filas y columnas. es una matriz en la que el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de las matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz A de 2×2 coeficientes,

Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general de 2×2 y resolvemos para y. Para eliminar la variable x, multiplicamos la primera ecuación por -a2 y la segunda ecuación por a1.

Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho al determinante de una matriz de 2×2. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al sustituir la columna que representa los coeficientes de y por la correspondiente columna de constantes. Esta matriz especial se denomina Dy.

Determinante de la regla de cramer

Observación: Las reglas de la propiedad 5 son suficientes para calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada. La idea es transformar la matriz original en una matriz triangular y luego utilizar la regla 1 para calcular el valor del determinante.

Ahora presentamos un algoritmo basado en la propiedad 5 para calcular el det A, donde A = [aij] es una matriz n × n. Comience por fijar el valor del determinante en 1, y luego realice los pasos 1 a n de la siguiente manera.

Paso k – parte 1(b): Si akk = 0, intercambie la fila k con cualquier fila m por debajo de ella (es decir, k < m ≤ n) para la que amk ≠ 0, multiplique el valor actual del determinante por -1 (regla 2) y luego realice el paso 1(a) anterior. Si no existe tal fila, entonces termina el algoritmo y devuelve el valor de 0 para el determinante.

Presentamos los pasos mirando de izquierda a derecha y luego de arriba a abajo en la Figura 1. Para cada paso se especifica la regla utilizada y el multiplicador del determinante calculado hasta ese momento.

Observación: En el paso k – parte 1(b) del procedimiento anterior intercambiamos dos filas si akk = 0. Dado que tenemos que lidiar con los errores de redondeo, ¿qué ocurre si akk es pequeño pero no del todo cero? Para reducir el impacto de los errores de redondeo, deberíamos modificar el paso k – parte 1 como sigue:

Resolución de ecuaciones de 3 variables mediante determinantes

Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada [abcd],

{: valign=»top»}{: .unnumbered .unstyled summary=»La fila 1 de la matriz de 2 por 2 es 4, menos 2. La fila 2 es 3, menos 1. Lo mismo se escribe en forma de determinante con flechas diagonales. Restando los productos de las diagonales, obtenemos 4 veces menos 1 menos 3 veces menos 2. Simplificamos para obtener 2.» data-label=»»}

{: valign=»top»}{: .unnumbered .unstyled summary=»La fila 1 de la matriz de 2 por 2 es menos 3, menos 4. La fila 2 es menos 2, 0. Lo mismo se escribe en forma de determinante con flechas diagonales. Restando los productos de las diagonales, obtenemos menos 3 por 0 menos 2 por menos 4. Simplificamos para obtener menos 8.» data-label=»»}

{: valign=»top»}{: .unnumbered .unstyled summary=»La primera fila del determinante de 3 por 3 es 4, menos 2, 3. La fila 2 es 1, 0, menos 3. La fila 3 es menos 2, menos 4, 2. Eliminando la fila y la columna que contienen a1, obtenemos el menor de a1. Este determinante de 2 por 2 tiene la fila 1: 0, menos 3 y la fila 2: menos 4, 2. Evaluar y simplificar para obtener menos 12.» data-label=»»}

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