Que es la geometría analítica

Que es la geometría analítica

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En lo que sigue, utilizamos la notación \((x_1,y_1)\Npara representar un punto en el sistema de coordenadas \((x,y)\Nque también se denomina el plano \N(x\)-(y\N)-. Anteriormente, utilizamos \((a,b)\Npara representar un intervalo abierto. La notación a menudo se reutiliza y se abusa en matemáticas, pero afortunadamente, suele quedar claro por el contexto lo que queremos decir.

En el sistema de coordenadas \((x,y)\Nnormalmente escribimos el eje \Nhorizontal, con números positivos a la derecha del origen, y el eje \Nvertical, con números positivos por encima del origen. Es decir, a menos que se indique lo contrario, tomamos como «hacia la derecha» la dirección positiva de las x y como «hacia arriba» la dirección positiva de las y. En una situación puramente matemática, normalmente elegimos la misma escala para los ejes \(x\)- y \(y\)-. Por ejemplo, la recta que une el origen con el punto \((a,a)\\Nhace un ángulo de 45\({}^\circ\) con el eje \(x\)-(y también con el eje \(y)-).

Supongamos que dejamos caer una moneda desde una ventana y queremos estudiar cómo cambia su altura sobre el suelo de un segundo a otro. Es natural dejar que la letra \(t\) denote el tiempo (el número de segundos desde que se soltó el objeto) y que la letra \(h\) denote la altura. Para cada \(t\) (digamos, a intervalos de un segundo) se tiene una altura correspondiente \(h\text{.}\) Esta información puede ser tabulada, y luego trazada en el plano de coordenadas \((t,h)\\Nde la figura siguiente.

Geometría analítica

La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura) es el estudio de la geometría sin el uso de coordenadas o fórmulas. Se basa en el método axiomático y en las herramientas directamente relacionadas con ellos, es decir, el compás y la regla, para sacar conclusiones y resolver problemas.

La geometría sintética es la que estudia las figuras como tales, sin recurrir a las fórmulas, mientras que la geometría analítica utiliza sistemáticamente las fórmulas que pueden escribirse tras la adopción de un sistema de coordenadas adecuado[1].

La geometría presentada por Euclides en los Elementos es el ejemplo por excelencia del uso del método sintético. Fue el método preferido por Isaac Newton para la solución de problemas geométricos[2].

Los métodos sintéticos cobraron mayor importancia durante el siglo XIX, cuando los geómetras rechazaron los métodos de coordenadas para establecer los fundamentos de la geometría proyectiva y las geometrías no euclidianas. Por ejemplo, el geómetra Jakob Steiner (1796 – 1863) odiaba la geometría analítica y siempre dio preferencia a los métodos sintéticos[3].

Revisión de la geometría analítica

La geometría analítica se utiliza en la física y la ingeniería, así como en la aviación, la cohetería, la ciencia espacial y los vuelos espaciales. Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica, diferencial, discreta y computacional.

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones de planos, rectas y círculos, a menudo en dos y a veces en tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano (tres dimensiones). Tal y como se enseña en los libros de texto, la geometría analítica puede explicarse de forma más sencilla: se ocupa de definir y representar las formas geométricas de forma numérica y de extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. Que el álgebra de los números reales pueda emplearse para obtener resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind.

El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método muy parecido al uso de las coordenadas y a veces se ha mantenido que había introducido la geometría analítica[1].

Geometría analítica tutorial 1: fundamentos parte 1

La geometría analítica es una combinación de álgebra y geometría. En la geometría analítica, se trata de presentar las figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas bidimensional o en un espacio tridimensional. La geometría analítica incluye las fórmulas básicas de la geometría de coordenadas, las ecuaciones de una línea y de las curvas, la traslación y la rotación de los ejes y los conceptos de la geometría tridimensional.

La geometría analítica es una importante rama de las matemáticas, que ayuda a presentar las figuras geométricas en un plano bidimensional y a aprender las propiedades de estas figuras. Aquí trataremos de conocer el plano de coordenadas y las coordenadas de un punto, para obtener una comprensión inicial de la geometría analítica.

Un plano cartesiano divide el espacio plano en dos dimensiones y es útil para localizar fácilmente los puntos. También se denomina plano de coordenadas. Los dos ejes del plano de coordenadas son el eje horizontal x y el eje vertical y. Estos ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes, y el punto de intersección de estos ejes es el origen (0, 0). Además, cualquier punto del plano de coordenadas se denomina punto (x, y), donde el valor x es la posición del punto con referencia al eje x, y el valor y es la posición del punto con referencia al eje y.

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