Operaciones fundamentales con numeros complejos ejercicios resueltos

Operaciones fundamentales con numeros complejos ejercicios resueltos

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La multiplicación de números complejos es una operación fundamental con números complejos en la que se multiplican dos o más números complejos. Es una operación compleja en comparación con la suma y la resta de números complejos. Un número complejo es de la forma a + ib, donde i es un número imaginario y a, b son números reales. El mecanismo de funcionamiento de la multiplicación de números complejos es similar al de la multiplicación de binomios utilizando la propiedad distributiva.

Vamos a entender el concepto de multiplicación de números complejos utilizando la propiedad distributiva, su fórmula, la multiplicación de un número real y un número puramente imaginario con números complejos. También exploraremos la cuadratura de números complejos junto con algunos ejemplos resueltos para una mejor comprensión.

La multiplicación de números complejos es un proceso de multiplicación de dos o más números complejos utilizando la propiedad distributiva. Matemáticamente, si tenemos dos números complejos z = a + ib y w = c + id, entonces la multiplicación de los números complejos z y w se escribe como zw = (a + ib) (c + id). Utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación para encontrar el producto de los números complejos.

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Los números con los que estás más familiarizado se llaman números reales. Estos incluyen números como 4, 275, -200, 10.7, ½, π, etc. Todos estos números reales pueden representarse en una recta numérica. Por ejemplo, si queremos mostrar el número 3, trazamos un punto:

Para representar un número complejo como [latex]3-4i[/latex], necesitamos algo más que una recta numérica, ya que el número tiene dos componentes. Para representar este número, necesitamos dos rectas numéricas, cruzadas para formar un plano complejo.

La parte real de este número es 3, y la parte imaginaria es [latex]-4[/latex]. Para trazarlo, dibujamos un punto 3 unidades a la derecha del origen en la dirección horizontal y 4 unidades hacia abajo en la dirección vertical.

Como esto es análogo al sistema de coordenadas cartesianas para trazar puntos, podemos pensar en trazar nuestro número complejo [latex]z=a+bi[/latex] como si estuviéramos trazando el punto (a, b) en coordenadas cartesianas. A veces se escriben los números complejos como [latex]z=x+yi[/latex] para resaltar esta relación.

Antes de adentrarnos en los usos más complicados de los números complejos, debemos recordar la aritmética básica. Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos los términos similares, combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias.

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La multiplicación compleja es una operación más difícil de entender tanto desde el punto de vista algebraico como geométrico. Hagámoslo primero algebraicamente, y tomemos números complejos concretos para multiplicar, digamos 3 + 2i y 1 + 4i. Cada uno tiene dos términos, así que cuando los multipliquemos, obtendremos cuatro términos:

Ahora el 12i + 2i se simplifica a 14i, por supuesto. ¿Y el 8i2? Recuerda que introdujimos i como abreviatura de √-1, la raíz cuadrada de -1. En otras palabras, i es algo cuyo cuadrado es -1. Así, 8i2 es igual a -8. Por tanto, el producto (3 + 2i)(1 + 4i) es igual a -5 + 14i.

Recuerda que (xu – yv), la parte real del producto, es el producto de las partes reales menos el producto de las partes imaginarias, pero (xv + yu), la parte imaginaria del producto, es la suma de los dos productos de una parte real y la otra imaginaria.

En otras palabras, sólo hay que multiplicar las dos partes del número complejo por el número real. Por ejemplo, 2 por 3 + i es simplemente 6 + 2i. Geométricamente, cuando se duplica un número complejo, sólo se duplica la distancia desde el origen, 0. De forma similar, cuando se multiplica un número complejo z por 1/2, el resultado estará a medio camino entre 0 y z. Se puede pensar en la multiplicación por 2 como una transformación que estira el plano complejo C en un factor de 2 lejos de 0; y la multiplicación por 1/2 como una transformación que aprieta C hacia 0.

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Como la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma 62i, la unidad imaginaria i suele interpretarse erróneamente como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar i delante del radical y utilizar 6i2.

donde a y b son números reales. Aquí, a se llama la parte realEl número real a de un número complejo a+bi. y b se llama la parte imaginariaEl número real b de un número complejo a+bi.. Por ejemplo, 3-4i es un número complejo con una parte real de 3 y una parte imaginaria de -4. Es importante señalar que cualquier número real es también un número complejo. Por ejemplo, 5 es un número real; se puede escribir como 5+0i con una parte real de 5 y una parte imaginaria de 0. Por lo tanto, el conjunto de números reales, denotado ℝ, es un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado ℂ.

Los números complejos se utilizan en muchos campos, como la electrónica, la ingeniería, la física y las matemáticas. En este libro de texto los utilizaremos para entender mejor las soluciones de ecuaciones como x2+4=0. Por esta razón, a continuación exploraremos las operaciones algebraicas con ellos.

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