La recta en geometria analitica

La recta en geometria analitica

Problemas de geometría analítica de elipses con solución

Uno de los aspectos más importantes de la geometría analítica es la idea de que una ecuación algebraica puede relacionarse con una figura geométrica. Consideremos la ecuación 2x + 3y = 44. La solución de esta ecuación es un par ordenado (x,y) que representa un punto. Si se trazara el conjunto de todos los puntos que hacen que la ecuación sea verdadera (llamado lugar geométrico), la gráfica resultante sería una línea recta. Por esta razón, este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones lineales. La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C, donde A, B y C son constantes y A y B no son ambos 0. Es interesante observar que una ecuación como x = 4 es una ecuación lineal. La gráfica de esta ecuación está formada por el conjunto de todos los pares ordenados en los que x = 4.

El valor de la pendiente puede utilizarse para describir geométricamente una recta. Si la pendiente es positiva, se dice que la recta es ascendente. Si la pendiente es negativa, la línea es descendente. Una pendiente de cero es una línea horizontal y una pendiente indefinida es una línea vertical. Si dos líneas tienen la misma pendiente, entonces estas líneas son paralelas.

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No sabía que incluso las líneas rectas como los planos pueden representarse mediante una ecuación combinada. ¿Puede alguien explicar cómo ocurre esto y cómo encontrar las líneas individuales para poder determinar el ángulo entre ellas?

La solución real cumple tu requisito: las pendientes se multiplican por $-1$, por lo que las rectas son ortogonales. Además, sólo hay un par de rectas con esa propiedad. Las soluciones complejas no satisfacen su requisito, pero probablemente querrá excluirlas de su consideración en cualquier caso.

Círculo de geometría analítica

Todos los valores a la derecha del origen a lo largo del eje X son positivos y todos los valores a la izquierda del origen a lo largo del eje X son negativos. Del mismo modo, todos los valores por encima del origen a lo largo del eje Y son positivos y por debajo del origen son negativos.

Sea P un punto cualquiera del plano. Dibuje PN perpendicular al eje X. ON y PN se llaman coordenadas X e Y de P respectivamente y se escribe como P (X,Y). En particular, el origen O tiene coordenadas (0,0) y cualquier punto en el eje X tiene su coordenada Y como cero y cualquier punto en el eje Y tiene sus coordenadas X como cero.

Dejemos que la línea dada se encuentre con el eje Y en B (o, c). Llamamos OB como Y – intercepción. Sea A un punto cualquiera de la recta dada. Dibujar AM perpendicular a OX y BD AM. Que esta recta forme un ángulo q con el eje X. Entonces la pendiente

Ejemplo: Dé la ecuación matemática de la función de oferta de una mercancía tal que la cantidad suministrada es cero cuando el precio es de 5 rupias o menos y aumenta continuamente a la tasa constante de 10 unidades por cada aumento de una rupia en el precio por encima de 5 rupias.

Conceptos básicos de geometría analítica

En lo que sigue, utilizamos la notación \((x_1,y_1)\ para representar un punto en el sistema de coordenadas \((x,y)\), también llamado el plano \(x\)-(y\). Anteriormente, utilizamos \((a,b)\Npara representar un intervalo abierto. La notación a menudo se reutiliza y se abusa en matemáticas, pero afortunadamente, suele quedar claro por el contexto lo que queremos decir.

En el sistema de coordenadas \((x,y)\Nnormalmente escribimos el eje \Nhorizontal, con números positivos a la derecha del origen, y el eje \Nvertical, con números positivos por encima del origen. Es decir, a menos que se indique lo contrario, tomamos como «hacia la derecha» la dirección positiva de las x y como «hacia arriba» la dirección positiva de las y. En una situación puramente matemática, normalmente elegimos la misma escala para los ejes \(x\)- y \(y\)-. Por ejemplo, la recta que une el origen con el punto \((a,a)\\Nhace un ángulo de 45\({}^\circ\) con el eje \(x\)-(y también con el eje \(y)-).

Supongamos que dejamos caer una moneda desde una ventana y queremos estudiar cómo cambia su altura sobre el suelo de un segundo a otro. Es natural dejar que la letra \(t\) denote el tiempo (el número de segundos desde que se soltó el objeto) y que la letra \(h\) denote la altura. Para cada \(t\) (digamos, a intervalos de un segundo) se tiene una altura correspondiente \(h\text{.}\) Esta información puede ser tabulada, y luego trazada en el plano de coordenadas \((t,h)\\Nde la figura siguiente.

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