Juegos de geometria analitica

Juegos de geometria analitica

Juegos de transformación

En este apéndice, utilizamos los vectores y los puntos como bloques de construcción para una geometría más complicada. Estos temas se utilizan en el libro, pero no con tanta frecuencia como los vectores, las matrices y las transformaciones; de ahí que los hayamos puesto en un apéndice, en lugar del texto principal.

Supongamos ahora que queremos definir un segmento de recta por los puntos extremos p0 y p1. Primero construimos el vector u = p1 – p0 desde p0 hasta p1; véase la figura C.3. Entonces, para t ∈ [0, 1], la gráfica de la ecuación p(t) = p0 + tu = p0 + (p1 – p0) es el segmento de línea definido por p0 y p1. Observe que si se sale del intervalo t ∈ [0, 1], entonces se obtiene un punto de la recta que coincide con el segmento, pero que no está en el segmento.

Figura C.3. Generamos puntos sobre el segmento de la recta introduciendo diferentes valores de t en [0, 1]. Por ejemplo, el punto medio del segmento de la línea está dado en t = 0,5. Observa también que si t = 0, obtenemos el punto final p0 y si t = 1, obtenemos el punto final p1.

Sea q un punto, y u y v dos vectores que no son múltiplos escalares entre sí (es decir, u ≠ kv para cualquier escalar k). Entonces la gráfica de la siguiente función es un paralelogramo (véase la figura C.4):

Juegos de rotación

La geometría (del griego antiguo: γεωμετρία; geo- «tierra», -metron «medida») es, con la aritmética, una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Se ocupa de las propiedades del espacio relacionadas con la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras[1] El matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra.

Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicaba casi exclusivamente a la geometría euclidiana,[a] que incluye las nociones de punto, línea, plano, distancia, ángulo, superficie y curva, como conceptos fundamentales[2].

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Teorema Egregium («teorema notable») de Gauss, que afirma a grandes rasgos que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano. Esto implica que las superficies pueden estudiarse de forma intrínseca, es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de los colectores y la geometría de Riemann.

Juegos de perímetro

Los alumnos discuten los componentes de sus videojuegos favoritos y descubren que pueden reducirse a una serie de coordenadas. A continuación, exploran las coordenadas en el espacio cartesiano, identificando las coordenadas de los personajes de un juego en distintos momentos. Una vez que se sientan cómodos con las coordenadas, harán una lluvia de ideas sobre sus propios juegos y crearán listas de coordenadas de muestra para diferentes momentos de su propio juego.

Esta lección introduce a los alumnos en la idea de que los programas informáticos en general, y los videojuegos en particular, están construidos sobre una base de conceptos matemáticos básicos. Al explorar las interacciones de los diferentes personajes de un videojuego, los alumnos verán que el mundo de un videojuego bidimensional está representado en el software por un plano de coordenadas básico. Con ese conocimiento podemos empezar a describir (y posteriormente programar) el movimiento de los elementos del juego con funciones matemáticas relativamente sencillas.

Los ordenadores utilizan números para representar la posición de un personaje en la pantalla, usando líneas numéricas como reglas para medir la distancia desde la esquina inferior izquierda de la pantalla. Para nuestro videojuego, colocaremos la recta numérica de forma que la pantalla vaya del 0 (a la izquierda) al 400 (a la derecha). Podemos tomar la imagen del Dragón, pegarla en cualquier lugar de la línea y medir la distancia hasta el borde izquierdo. Cualquier otra persona que conozca nuestra recta numérica podrá duplicar la posición exacta del Dragón, conociendo sólo el número. ¿Cuál es la coordenada del Dragón en el lado derecho de la pantalla? ¿El centro? ¿Qué coordenada situaría al Dragón más allá del borde izquierdo de la pantalla?

Soluciones geométricas

La geometría analítica comenzó con Omar Khayyám, un poeta-matemático de la Persia del siglo XI, que la aplicó a su solución geométrica general de las ecuaciones cúbicas[1] Vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra, y se movía en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y la geométrica[2].

René Descartes avanzó significativamente en los métodos de la geometría analítica en 1637 en el apéndice titulado Geometría del titulado Discurso sobre el método de conducir rectamente la razón en la búsqueda de la verdad en las ciencias, comúnmente conocido como Discurso del método. Esta obra, escrita en su lengua materna (el francés), y sus principios filosóficos, sentaron las bases del cálculo en Europa.

Abraham de Moivre también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. El hecho de que la geometría euclidiana sea interpretable en el lenguaje de la geometría analítica (es decir, que cada teorema de una es un teorema de la otra) es un paso clave de la prueba de Alfred Tarski de que la geometría euclidiana es consistente y decidible.

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