Ejercicios resueltos de integración por partes

Ejercicios resueltos de integración por partes

Hoja de trabajo de integración por partes pdf

Es sencillo tomar la derivada del integrando usando la Regla del Producto, pero no hay una Regla del Producto para las integrales. Sin embargo, esta sección presenta la integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para las derivadas. Nos permitirá evaluar esta integral.

La Regla del Producto dice que si \(u\) y \(v\) son funciones de \(x\), entonces \((uv)’ = u’v + uv’\). Para simplificar, hemos escrito \(u\) para \(u(x)\) y \(v\) para \(v(x)\). Supongamos que integramos ambos lados con respecto a \(x\). Esto da

La clave de la integración por partes es identificar parte del integrando como «\(u\)» y parte como «\(dv\)». La práctica regular le ayudará a uno a hacer buenas identificaciones, y más adelante introduciremos algunos principios que ayudan. Por ahora, dejemos que \(u=x\) y \(dv=\cos{x}\ dx\).

En general, es útil hacer una pequeña tabla de estos valores, como se hace a continuación. En este momento sólo conocemos \(u\) y \(dv\) como se muestra en la izquierda de la figura \(\PageIndex{1}\); a la derecha completamos el resto de lo que necesitamos. Si \(u = x\), entonces \(du = dx\). Como \(dv = \cos x\ dx\), \(v\) es una antiderivada de \(\cos x\). Elegimos \(v = \sin x\).

Hoja de trabajo de integración por partes con soluciones doc

Es muy sencillo tomar la derivada del integrando utilizando la regla del producto, pero no existe una regla del producto para las integrales. Sin embargo, esta sección introduce la integración por partes, un método de integración que se basa en la regla del producto para las derivadas. Nos permitirá evaluar esta integral.

La regla del producto dice que si u y v son funciones de x, entonces (uv)′=u′v+uv′. Para simplificar, hemos escrito u por u(x) y v por v(x). Supongamos que integramos ambos lados con respecto a x. Esto da

SoluciónLa clave de la integración por partes es identificar parte del integrando como «u» y parte como «dv». La práctica regular le ayudará a uno a hacer buenas identificaciones, y más adelante introduciremos algunos principios que ayudan. Por ahora, dejemos que u=x y dv=cosxdx.

Aquí tenemos dos notas importantes: (1) Observa cómo la antiderivada contiene el producto, xsinx. Este producto es el que hace necesaria la integración por partes. Y (2) la antidiferenciación de dv da como resultado v+C. Los +C intermedios se suman y se representan con un +C en la respuesta final.

Regla de la cadena

A estas alturas ya tenemos un procedimiento bastante completo sobre cómo evaluar muchas integrales básicas. Sin embargo, aunque podemos integrar ∫xsin(x2)dx∫xsin(x2)dx utilizando la sustitución, u=x2,u=x2, algo de aspecto tan simple como ∫xsinxdx∫xsinxdx nos desafía. Muchos estudiantes quieren saber si existe una regla del producto para la integración. No la hay, pero existe una técnica basada en la regla del producto para la diferenciación que nos permite cambiar una integral por otra. A esta técnica la llamamos integración por partes.

Si, h(x)=f(x)g(x),h(x)=f(x)g(x), entonces utilizando la regla del producto, obtenemos h′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x).h′(x)=f′(x)g(x)+g′(x)f(x). Aunque al principio pueda parecer contraproducente, integremos ahora ambos lados de esta ecuación: ∫h′(x)dx=∫(g(x)f′(x)+f(x)g′(x))dx.∫h′(x)dx=∫(g(x)f′(x)+f(x)g′(x))dx.

Llegados a este punto, es probable que haya que aclarar algunas cosas. En primer lugar, puede que tengas curiosidad por saber qué habría pasado si hubiéramos elegido u=sinxu=sinx y dv=x.dv=x. Si lo hubiéramos hecho así, entonces tendríamos du=cosxdxdu=cosxdx y v=12×2.v=12×2. Así, tras aplicar la integración por partes, tenemos ∫xsinxdx=12x2sinx-∫12x2cosxdx.∫xsinxdx=12x2sinx-∫12x2cosxdx. Lamentablemente, con la nueva integral, no estamos en mejor posición que antes. Es importante tener en cuenta que cuando aplicamos la integración por partes, podemos necesitar probar varias opciones para uu y dvdv antes de encontrar una opción que funcione.

Integración por partes ejemplos y soluciones

Cálculo: Integral: Integración por partes1.      \Solución1.(\int \frac{{ln{x}}{{x}^{5}}, dx\) Solución2.      \Solución3.      \Solución4.      \(int \\Nsin^{-1}(y)} \N, dy\N)      Solución5.      \Solución6.      \Solución7.      \Solución8.      \(\int \cos^1}(y)} \N, dy\N)      Solución9.      \Solución10.      \Integración por partes – Introducción

La integración por partes es otra técnica importante de integración. Te preguntarás, ¿cuándo debo utilizarla? La regla general es, siempre que tengas un producto de dos funciones, una que puedas integrar y otra que puedas diferenciar. En el contexto de otras técnicas de integración, en general, siempre debes usar primero la integración por sustitución si puedes. Si no puedes, entonces considera la integración por partes.

Si intentamos primero la integración por sustitución (que es lo que deberíamos hacer), habremos visto que no funciona. Ahora, probemos la integración por partes. Surge el dilema: ¿qué debemos elegir como \(u\) y \(dv\) en la siguiente fórmula?

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