Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes ejercicios resueltos

Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes ejercicios resueltos

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Este artículo trata de las ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente. Para ecuaciones similares con dos o más variables independientes, véase Ecuación diferencial parcial § Ecuaciones lineales de segundo orden.

Una ecuación de este tipo es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales.

Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tienen coeficientes constantes puede resolverse por cuadratura, lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales. Esto también es cierto para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse por cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si hay soluciones en términos de integrales, y calcularlas si las hay.

ejemplo de coeficiente constante

El teorema A anterior dice que la solución general de esta ecuación es la combinación lineal general de dos soluciones linealmente independientes cualesquiera. Entonces, ¿cómo se encuentran estas dos soluciones linealmente independientes? El siguiente ejemplo ilustrará la idea fundamental.

El truco consiste en sustituir y = e mx ( m una constante) en la ecuación; en breve verás por qué funciona este enfoque. Si y = e mx , entonces y′ = me mx e y″ = m 2 e mx , por lo que la ecuación diferencial se convierte en

Ahora, recuerda que la solución comenzó escribiendo y = e mx . Como ahora se han encontrado los valores de m m = -1, m = 2), ambos son soluciones. Como estas funciones son linealmente independientes (ninguna es múltiplo constante de la otra), el Teorema A dice que la combinación lineal general

depende enteramente de las raíces de la ecuación polinómica auxiliar que resulta de sustituir y = e mx y luego cancelar el término e mx. Una vez encontradas las raíces de esta ecuación polinómica auxiliar, se puede escribir inmediatamente la solución general de la ecuación diferencial dada. Obsérvese también que una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes siempre dará lugar a una ecuación polinómica auxiliar de segundo grado, es decir, a una ecuación polinómica cuadrática.

ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

Una de las principales ventajas de este método es que reduce el problema a un problema de álgebra. El álgebra puede ser complicada en ocasiones, pero para la mayoría de los problemas no será terriblemente difícil. Otra cosa buena de este método es que la solución complementaria no se requerirá explícitamente, aunque como veremos el conocimiento de la solución complementaria se necesitará en algunos casos y así lo encontraremos generalmente también.

Este método tiene dos desventajas. En primer lugar, sólo funcionará para una clase bastante pequeña de \(g(t)\Nde. La clase de \(g(t)\)’s para la que el método funciona, incluye algunas de las funciones más comunes, sin embargo, hay muchas funciones por ahí para que los coeficientes indeterminados simplemente no funcionará. En segundo lugar, generalmente sólo es útil para ecuaciones diferenciales de coeficiente constante.

ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es la que tiene la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decrecimiento \ds(y’=ky\text{.})

Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.

Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces

En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.

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