Ecuacion diferencial de variables separables

Ecuacion diferencial de variables separables

ecuación diferencial homogénea

En matemáticas, la separación de variables (también conocida como método de Fourier) es uno de los varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, en el que el álgebra permite reescribir una ecuación de manera que cada una de las dos variables se encuentre en un lado diferente de la ecuación.

dx (y dy) puede considerarse, a un nivel simple, como una notación conveniente, que proporciona una ayuda mnemotécnica útil para ayudar a las manipulaciones. Una definición formal de dx como diferencial (infinitesimal) es algo avanzada.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)dP=\int k\, dt\\N[6pt]&\ln |P|-\ln |K-P|=kt+C\N[6pt]&\ln |K-P|-\ln |P|=-kt-C\\N[6pt]&\ln \latras izquierda|{cfrac {K-P}{P}}directamente=-kt-C\N[6pt]&\left|{dfrac {K- P}{P}}\right|=e^{-kt-C}\\[6pt]&\left|{\dfrac {K-P}{P}}\right|=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\end{aligned}}}

Así, cuando se separan las variables para las ecuaciones de primer orden, de hecho se mueve el denominador dx del operador al lado con la variable x, y el d(y) se deja en el lado con la variable y. El operador de segunda derivada, por analogía, se descompone como sigue:

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Una ecuación diferencial de primer orden \(y’ = f\left( {x,y} \right)\Nse denomina ecuación separable si la función \(f\left( {x,y} \right)\Npuede ser factorizada en el producto de dos funciones de \\Nx y \Ny.

Por supuesto, tenemos que asegurarnos de que \\ ~ (h\left( y \right) \ne 0.\ ~) Si hay un número \({y_0}) tal que \(h\left( {{y_0}}\right) = 0,\) entonces este número también será una solución de la ecuación diferencial. La división por \(h\left( y \right)\Nhace que se pierda esta solución.

Se puede observar que después de la división podemos perder las soluciones \(y = 0\) y \(y = -2\) cuando \(h\left( y \right)\Nse hace cero. De hecho, veamos que \(y = 0\) es una solución de la ecuación diferencial. Evidentemente,

\N-[\frac{1}{2}\N- izquierda( {\frac{1}{y}} – \frac{1}{y + 2}}\N-derecha)dy} = \N-int {dx} + C,\N;\N-flecha derecha \N-izquierda( {\nint {\frac{dy}}{y}} – \nint {\frac{dy}}{y + 2}} \N-derecha) = \nint {dx} + C,\N;\N-flecha derecha \N-izquierda( {\ln \left| y \right|| – \ln \left| {y + 2}||} \N-derecha) = x + C,\N-flecha derecha \N-flecha derecha \n-izquierda| {\frac{y}{y + 2}} \Flecha derecha: x + C, flecha derecha: izquierda: fraccionamiento de y + 2. \N – derecha| = 2x + 2C.\N – [Flecha derecha]

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integrar con respecto a ese algo también con respecto a ese U. Así que esto va a ser 1/2. Este 1/2 justo aquí. La antiderivada. Esto es E a la X negativa al cuadrado y luego, por supuesto, podría

tener alguna otra constante. Voy a llamar a eso C dos. Y una vez más, si esta parte aquí lo que acabo de hacer parecía extraño, la sustitución de U, es posible que desee revisar esa pieza. Ahora, ¿qué puedo hacer aquí? Tendremos una constante

de una solución general. No sabemos cuál es esta constante y no hemos resuelto explícitamente para Y todavía, pero incluso en esta forma ahora podemos encontrar una solución particular utilizando esta condición inicial. Permíteme que lo separe. Esto era una parte de esta expresión original justo aquí pero usando esta condición inicial. Así, nos dice cuando X es cero,

X negativo al cuadrado sobre dos. Ahora podemos multiplicar ambos lados por dos y vamos a obtener Y al cuadrado. Y al cuadrado. Déjame hacer eso. Así que vamos a obtener Y al cuadrado es igual a E a la X negativa al cuadrado. Ahora, podemos tomar el

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Explicación: Esta es una ecuación diferencial separable. La forma más sencilla de resolverla es reescribir primero como y luego por un abuso de la notación «multiplicar ambos lados por dt». Esto da como resultado . A continuación, agrupar todos los términos de y con dy e integrar, lo que nos lleva a . Resolviendo para y, tenemos . Introduciendo nuestra condición, encontramos . Elevando ambos lados a la potencia de -1/3, vemos . Así, nuestra solución final es

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